Dalia Somekh, una studentessa di V liceo scientifico della Scuola ebraica di Milano, ci racconta come, per fare meno fatica e superare la noia, ha trovato un’idea semplice per ridurre i passaggi di risoluzione di integrali indefiniti (di funzioni fratte).
Quante volte vi sarà capitato, studiando le materie scientifiche, di incontrare metodi di risoluzione, di esercizi o problemi, particolarmente lunghi ed elaborati? E di aver avuto voglia di abbandonare il tutto? Beh, questo è proprio ciò che è successo a me durante questo mio ultimo anno di liceo scientifico. Argomento gli Integrali Indefiniti. Nello specifico, per dirla tutta, integrali indefiniti di espressioni fratte, con denominatore di secondo grado con discriminante nullo, = 0. Mica poco! Il procedimento di risoluzione proposto dal libro di testo mi è subito apparso particolarmente lungo e monotono e decisamente noioso. Mi toccava poi per compito a casa svolgerne tre esercizi di questo tipo per allenarmi all’applicazione di questo metodo. Dopo il primo esercizio avevo riempito un intero foglio di conti per raggiungere la soluzione. Possibile? Dovevo continuare così e svolgerne altri due. Ho fortemente sperato che quel procedimento così lungo e poco intuitivo non fosse l’unico possibile. La mia voglia di lavorare meno reclamava idee nuove e possibilità diverse. Così, un po’ per gioco, un po’ per pigrizia e un po’ per noia mi sono lanciata una sfida: provare un metodo alternativo che mi facesse risparmiare un po’ di carta e un po’ d’inchiostro… e un po’ di tempo soprattutto. Dopo qualche tentativo e fallimento ecco… E se applicassimo una sostituzione? Le righe di calcolo si accorciavano notevolmente come potete controllare qui sotto:
Il metodo proposto dal libro:
Riporto di seguito un esempio, per mostrare il procedimento proposto dal libro in maniera più chiara.
Qui di seguito riporto lo stesso esercizio sopra mostrato, svolto con il metodo da me formulato:
Era un caso oppure il metodo poteva funzionare in generale per tutti gli integrali indefiniti di quel tipo? Applicandolo nuovamente funzionava sempre e accorciava i calcoli noiosi!
Arrivata in classe il giorno dopo mi ha accolta l’entusiasmo della mia professoressa di matematica e dei compagni. Perché non provarlo su altri esercizi? Per esempio, per integrali con denominatore di grado superiore al secondo? O per evitare la divisione di polinomi quando il numeratore è di grado superiore rispetto al denominatore (sempre nel caso delta=0)?
Anche qui i vantaggi sembravano notevoli! Riporto di seguito un esempio, svolto prima con la divisione in polinomi e poi con il metodo di sostituzione.
Metodo con la divisione in polinomi:
Ora vediamo il metodo di sostituzione:
Il metodo risulta efficace anche in casi in cui il denominatore sia di grado superiore al secondo come potete sperimentare per il caso
Insomma, da questo esperimento nato un po’ casualmente, mi sono sentita molto soddisfatta e mi sono convinta che, a volte, se non ci accontentiamo delle formule note, possiamo trasformare pigrizia e noia in nuove strategie utili a fare meno fatica.
Dalia Somekh
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